Построение и решение графиков функций

Историческая справка

К концу XVIII века большинство используемых сегодня диаграмм были представлены миру в революционной публикации Уильяма Плейфэра под названием «Коммерческий и политический атлас».

В 1786 году Плейфэр решил использовать свои навыки рисовальщика для иллюстрации экономических данных. В то время такая информация обычно была представлена в виде таблиц, но инженер преобразовал данные в инфографику. В линейном графике он сопоставил цены на пшеницу с затратами на рабочую силу, опровергая распространённое мнение о том, что заработная плата приводит к росту цен на зерно, и продемонстрировал, что на самом деле она растёт гораздо медленнее стоимости товара.

С самого начала скромные диаграммы и графики помогали аудитории принимать решения на основе представленных данных, а также выявлять ранее неизвестные тенденции. За прошедшие годы были разработаны дополнительные инструменты для визуального отображения информации — в том числе и с помощью современных технологий.

Модель RAM (Random Access Machine)

Каждое вычислительное устройство имеет свои особенности, которые могут влиять на длительность вычисления

Обычно при разработке алгоритма не берутся во внимание такие детали, как размер кэша процессора или тип многозадачности, реализуемый операционной системой. Анализ алгоритмов проводят на модели абстрактного вычислителя, называемого машиной с произвольным доступом к памяти (RAM)

Модель состоит из памяти и процессора, которые работают следующим образом:

память состоит из ячеек, каждая из которых имеет адрес и может хранить один элемент данных;
каждое обращение к памяти занимает одну единицу времени, независимо от номера адресуемой ячейки;
количество памяти достаточно для выполнения любого алгоритма;
процессор выполняет любую элементарную операцию (основные логические и арифметические операции, чтение из памяти, запись в память, вызов подпрограммы и т.п.) за один временной шаг;
циклы и функции не считаются элементарными операциями.

Несмотря на то, что такая модель далека от реального компьютера, она замечательно подходит для анализа алгоритмов. После того, как алгоритм будет реализован для конкретной ЭВМ, вы можете заняться профилированием и низкоуровневой оптимизацией, но это будет уже оптимизация кода, а не алгоритма.

Yotx.ru

Замечательный русскоязычный сервис, осуществляющий построение графиков онлайн по точкам (по значениям) и графиков функций (обычных и параметрических).

Этот сайт обладает интуитивно понятным интерфейсом и легок в использовании. Не требует регистрации, что существенно экономит время пользователя.

Позволяет быстро сохранять готовые графики на компьютере, а также генерирует код для размещения на блоге или сайте.

На Yotx.ru есть учебник и примеры графиков, которые были созданы пользователями.

Возможно, для людей, углубленно изучающих математику или физику, этого сервиса будет мало (например, нельзя построить график в полярных координатах, так как на сервисе нет логарифмической шкалы), но для выполнения самых простых лабораторных работ вполне достаточно.

Преимуществом сервиса является то, что он не заставляет как многие другие программы, искать полученный результат по всей двумерной плоскости.

Размер графика и интервалы по осям координат автоматически генерируются так, чтобы график оказался удобным для просматривания.

Одновременно на одной плоскости есть возможность построить несколько графиков.

Дополнительно на сайте можно использовать калькулятор матриц, с помощью которого легко производить различные действия и преобразования.

Kontrolnaya-Rabota.ru

Построение двухмерного графика функции в декартовых и полярных координатах.
Построение графика, заданного параметрически.
Построение 3D графиков (поверхностей), заданных уравнением.
Построение гистограмм и графиков и по точкам.
Построение графиков неявно заданных функций.

Пользователю достаточно ввести в онлайн-программу данные из условия задачи и кликнуть кнопку «Построить график».

Запутаться сложно, так как каждая страница этого раздела сопровождается пояснениями и примерами. Там же даны подсказки, какие символы и сокращения следует использовать при вводе выражений.

При построении 2D-графика в декартовых координатах приводится подробный результат исследования функции, чего не встретишь практически нигде.

Достоинства сервиса kontrolnaya-rabota.ru — возможность пользоваться им без ограничений, выдача результатов с ходом решения, быстрые и точные ответы, наличие других онлайн-калькуляторов для вычисления уравнений, интегралов, неравенств и прочего. А недостаток — в том, что не все чертежи можно масштабировать. Это создает определенные неудобства при копировании.

Umath.ru

Веб-сервис Umath.ru — не только набор онлайн-калькуляторов, но и неплохой справочник по математике. Позволяет строить 3 разновидности графиков функций:

Заданных уравнением.
Заданных параметрически.
В полярной системе координат.

В отличие от предыдущего, этот веб-сайт дает возможность размещать несколько графиков на одной плоскости (они будут нарисованы разным цветом). Также он позволяет изменять масштаб и смещать положение центра координатного пространства (кнопки управления находятся слева от графика, но можно пользоваться и мышью).

Готовый результат можно скачать на компьютер в виде картинки.

Достоинства Umath.ru — простота применения (на станице есть пояснения, списки функций и констант), масштабирование, возможность оставлять комментарии, пользоваться справочником и другими математическими калькуляторами. Недостаток — ограниченный функционал (к сожалению, нет возможности строить трехмерные графики) и иногда проскакивающие ошибки. Но, надеемся, это временно, так как сервис активно развивается.

Kontrolnaya-Rabota.ru

Построение двухмерного графика функции в декартовых и полярных координатах.
Построение графика, заданного параметрически.
Построение 3D графиков (поверхностей), заданных уравнением.
Построение гистограмм и графиков и по точкам.
Построение графиков неявно заданных функций.

Сменная работа

Сменная работа – это необходимость для предприятий, где производственный процесс должен идти непрерывно для поддержания бесперебойной работы и получения дохода фирмой. Когда рабочие трудятся по сменам, это влияет на:

качество продукции;
количество продукции;
эффективность используемого оборудования;
объемы товарооборота.

Бесперебойность промышленного процесса позволяет достичь необходимую суточную норму

, но ни один человек не может трудиться 24 часа в сутки без перерывов, поэтому и возникает необходимость в составлении смен.

Для того чтобы ввести посменный график, требуется составлять расписание, основываясь на требованиях профсоюза. Эта необходимость прописана в статье №103 Трудового кодекса РФ .

При создании коллективного договора, к нему должен быть приложен и график работы.

График должен составляться согласно следующим пунктам:

продолжительность рабочего времени для одного сотрудника не может превышать установленные государством нормы;
некоторые граждане имеют возможность на работу по специальному режиму;
в праздничный день суточная норма работника сокращается на 1 час. Если же предприятие трудится беспрерывно, то этот час компенсируется повышенной оплатой, либо увеличивается время отдыха;
в ночное время норма работника уменьшается на 1 час;
сотрудник не должен быть занят две смены подряд;
непрерывный отдых каждого сотрудника должен превышать 42 часа в неделю.

Но большинство производственных компаний не могут позволить предоставить положенные сроки на отдых, из-за чего превышается лимит, который устанавливается государством.

Если у компании нет возможности изменить это, то лучшим решением станет суммирование учета рабочего времени. Такие лимиты будут устанавливаться внутри предприятия, что разрешается статьей 104 Трудового кодекса РФ .

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:
Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

Запись обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»

В точке функция терпит бесконечный разрыв. Или с помощью односторонних пределов: , . Немного поговорим об односторонних пределах. Запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю слева. Как при этом ведёт себя график? Он уходит вниз на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Именно этот факт и записывается пределом . Аналогично, запись обозначает, что мы бесконечно близко приближаемся по оси к нулю справа. При этом ветвь гиперболы уходит вверх на плюс бесконечность, бесконечно близко приближаясь к оси . Или коротко: .

Такая прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.

В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при .

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.

Также односторонние пределы , говорят нам о том, что гипербола не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Исследуем функцию на бесконечности: , то есть, если мы начнем уходить по оси влево (или вправо) на бесконечность, то «игреки» стройным шагом будут бесконечно близко приближаться к нулю, и, соответственно, ветви гиперболы бесконечно близко приближаться к оси .

Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции, если «икс» стремится к плюс или минус бесконечности.

Функция является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида () представляет собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Указанную закономерность места жительства гиперболы нетрудно проанализировать с точки зрения геометрических преобразований графиков.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы

Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

Детальную геометрическую информацию о рассмотренной линии можно найти в статье Гипербола и парабола.

График показательной функции

В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.

Напоминаю, что – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

Область определения: – любое «икс».

Область значений:

Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости

Функция не ограничена сверху: , то есть, если мы начнем уходить по оси вправо на плюс бесконечность, то соответствующие значения «игрек» стройным шагом будут тоже уходить вверх на по оси . Кстати, график экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при

Исследуем поведение функции на минус бесконечности: . Таким образом, ось является горизонтальной асимптотой для графика функции , если Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , , будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть. Это значение должен знать даже «двоечник»

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой – на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Об этой метаморфозе можно получить подробную информацию в статье Построение графиков с помощью геометрических преобразований.

Принципиально так же выглядят графики функций , и т. д.

Должен сказать, что второй случай встречается на практике реже, но он встречается, поэтому я счел нужным включить его в данную статью.

LibreOffice Calc

LibreOffice Calc Еще один свободный продукт, который входит в состав офисного пакета. Но на этот раз LibreOffice. Данное приложение очень похоже на предыдущее. С той лишь разницей, что способно создавать также трехмерные модели графиков.

Но все равно, данный продукт создан для вычислений. А построение графиков – всего лишь «побочный эффект». И тем не менее, многие используют утилиту из-за понятного интерфейса и присутствия русского языка.

ПЛЮСЫ:

Построение 2D и 3D моделей графиков
Работа практически со всеми математическими функциями
Предельно простой интерфейс
Есть русский язык

МИНУСЫ:

Скудный функционал

Graph.Reshish.ru

Graph.Reshish.ru — еще один простой и стабильно работающий онлайн-помощник, который неплохо чертит графики основных (floor, celi, log, round и т. д.), тригонометрических и гиперболических функций.

Координатная плоскость Graph.Reshish.ru также поддерживает масштабирование и смещение центра. Кроме того, при наведении на плоскость курсора рядом с ним отображаются координаты.

Для удобства ввода выражений все функции, операции и константы в списке слева выполнены в виде кнопок. Мелочь, но очень облегчает задачу тем, кто пользуется программой на мобильном устройстве.

Готовый результат можно загрузить на компьютер в виде картинки формата png. И пусть вас не смущает темный фон — после скачивания он заменится на прозрачный.

Ход решения при построении графиков здесь также не приводится. Это минус, но в остальном этот сервис весьма удобен.

Построение графика функции в GeoGebra

Для построения графика функции достаточно будет набрать ее в поле ввода. Для отображения параболы нужно будет написать в строке «Ввод» следующее выражение:

x^2

Символ «^» в программе GeoGebra обозначает возведение в степень.

Далее нажмите на кнопку «Enter». После этого в рабочей области будет построен график. Рисунок можно будет масштабировать с помощью колесика мыши. Для перемещения рабочей области нужно будет нажать на клавишу «Shift», одновременно удерживая нажатой левую кнопку мыши.

Вы можете перемещать сам график при помощи нажатой правой кнопки мыши, при этом, в Панели объектов будут отображены изменения в уравнении.

Вы можете добавить в уравнение переменные параметры, например, следующие (введите их строку ввода поочередно):

a=1
b=1
(x+a)^2+b

В рабочей области появится еще одна парабола, смещенная влево на одну единицу. Кликнув по графику, вы можете из открывшегося контекстного меню производить необходимые действия.

Расширение GeoGebra

Создано расширение GeoGebra для браузера Google Chrome

Обратите внимание на количество пользователей расширения: более 2.6 миллиона человек. Немногие расширения из магазина Chrome могут сравниться с такими цифрами

Это свидетельствует о том, что приложение GeoGebra широко используется в мире для образовательных целей.

Для входа в расширение кликните по кнопке «Сервисы» на панели закладок в браузере Google Chrome. После этого будет открыто окно расширения GeoGebra в вашем браузере. На начальном экране вы можете выбрать раздел математики, с которым далее вы будете работать в приложении.

Дополнительные материалы по работе в программе, вы можете найти на сайте производителя приложения, и в интернете.

График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

Область определения:

Область значений: .

Функция не ограничена сверху: , пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Исследуем поведение функции вблизи нуля справа: . Таким образом, ось является вертикальной асимптотой для графика функции при «икс» стремящемся к нулю справа.

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : , , (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.

Случай рассматривать не будем, что-то я не припомню, когда последний раз строил график с таким основанием. Да и логарифм вроде в задачах высшей математики ооочень редкий гость.

В заключение параграфа скажу еще об одном факте: Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Построение графиков других функций

Теперь, когда у нас есть основа в виде таблицы и диаграммы, можно строить графики других функций, внося небольшие корректировки в нашу таблицу.

Квадратичная функция y=ax2+bx+c

Выполните следующие действия:

В первой строке меняем заголовок
В третьей строке указываем коэффициенты и их значения
В ячейку A6 записываем обозначение функции
В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3
Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо

Получаем результат

График квадратичной функции

Кубическая парабола y=ax3

Для построения выполните следующие действия:

В первой строке меняем заголовок
В третьей строке указываем коэффициенты и их значения
В ячейку A6 записываем обозначение функции
В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5*B5
Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо

Получаем результат

График кубической параболы

Гипербола y=k/x

Для построения гиперболы заполните таблицу вручную (смотри рисунок ниже). Там где раньше было нулевое значение аргумента оставляем пустую ячейку.

Далее выполните действия:

В первой строке меняем заголовок.
В третьей строке указываем коэффициенты и их значения.
В ячейку A6 записываем обозначение функции.
В ячейку B6 вписываем формулу =$B3/B5
Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо.
Удаляем формулу из ячейки I6.

Для корректного отображения графика нужно поменять для диаграммы диапазон исходных данных, так как в этом примере он больше чем в предыдущих.

Кликните диаграмму
На вкладке Работа с диаграммами перейдите в Конструктор и в разделе Данные нажмите Выбрать данные.
Откроется окно мастера ввода данных
Выделите мышкой прямоугольный диапазон ячеек A5:P6
Нажмите ОК в окне мастера.

Получаем результат

График гиперболы

Программы для Форекс и построения графиков: почему они необходимы?

В большинстве случаев это программное обеспечение полезно для трейдеров Forex, когда их торговая платформа не обеспечивает достаточных возможностей построения графиков, аналитических инструментов или других функций, которые трейдер может найти полезными.

Есть много форекс-брокеров, которые могут предоставить вам платформу, но часто они будут иметь очень ограниченную функциональность — там, где вы можете просто открывать ордера, изменять их и просматривать цены. Но есть другое программное обеспечение, которое можно использовать и для анализа.

Еще одна причина, по которой трейдеры ищут полезное программное обеспечение Forex, — важно, чтобы платформа была доступна на определенном устройстве, которое они используют. Например, вам может быть сложно наблюдать цены и графики Форекс если вы находитесь на Chromebook, а ваша торговая платформа — MetaTrader 4

Таким образом вы можете использовать альтернативное программное обеспечение, которое отображает графики в качестве веб-приложения.

Презентация на тему: » Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной.» — Транскрипт:

Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной функции: y=a x, где а0, а 1, хR. Показательная функция y=a x встречается в самых различных областях науки – в физике, химии, биологии, экономике.

Её график:

О себе показательная функция говорит так:

Показательная функция в жизниПоказательная функция в жизни 1. Рост древесины происходит по закону:, где А — изменение количества древесины во времени; A 0 — начальное количество древесины; t – время; k, a – некоторые постоянные.

Давление воздуха убывает с высотой по закону:, где Р – давление на высоте h; P 0 — давление на уровне моря; a – некоторые постоянные.

Рост количества бактерий происходит по закону:, где N – число колоний бактерий в момент времени t; t – время размножения. N=5 t

Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой:, где N 0 — первоначальное количество вещества; Т½ — период полураспада.

Опишем более полно одно из важнейших физических явлений, которое связано с показательной функцией в жизни, — радиоактивный распад. После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов. Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана – 238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия – 1620 лет, а для полония – 84 период полураспада равен всего 1,5· сек. Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени пТ остается (½) n — я доля этого вещества. Иными словами, если в начале количество вещества равнялось М, то через промежуток времени t=пТ его останется m=M (½) t/T. Из этой формулы вытекает, что за лет, т.е. за тысячу периодов полураспада радия, его количество уменьшается в раз, т.е. более чем в раз. Если бы даже вся наша Галактика Состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем , и потому за лет весь радий распался бы. Не следует делать из сказанного вывод, что Галактика существует меньше полутора миллионов лет – время ее существования исчисляется миллиардами лет. Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана – 238, а за все время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону. Сейчас многие бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их спускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие – трос разрывается, и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря. Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение – верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, потому что при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка. Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для того, чтобы в любом его сечении на 1 см 2 приходилась одна и та же нагрузка?

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону:, где S 0 — площадь его нижнего сечения; S – площадь сечения на высоте х от нижнего сечения» У – удельный вес материала, из которого сделан трос; Р – вес в воде опускаемого груза. Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыва. Он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: Т=Т 0 + (100-Т 0 )е -kt. Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей и при падении тела с парашютом

7. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света l определяется по формуле: l=l 0 e -ks, где S – толщина слоя; K – коэффициент, Характеризующий мутную среду